Parte 4 Solucion de identidades

Vídeo No. 30. Parte 2 Solución de identidades

Vídeo No 29. Valor numérico de expresiones trigonométricas utilizando identidades

Parte 2 Olimpiadas matemáticas

RELACIONES TRIGONOMETRICAS

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para definir las funciones trigonométricas es importante resaltar el hecho de que un ángulo se encuentra en posición normal cuando el lado inicial se encuentra sobre el eje horizontal (eje x), y el otro lado en cualquier parte del plano cartesiano. Tomando la circunferencia unitaria (R = 1), el teorema de Pitágoras y cualquier punto P(x,y) que pertenezca a la circunferencia, podemos definir las seis funciones trigonométricas de la manera siguiente

Definimos el seno del ángulo θ, denotado por senθ como:

                                                     senθ = cateto opuesto =  y = y

                                                                     hipotenusa       1

Por lo tanto el senθ  es siempre la ordenada “y”

Definimos el coseno del ángulo θ, denotado por cosθ como:

                                                      cosθ = cateto adyacente =  x  = x

                                                                      hipotenusa         1 

Como y siempre es el seno (senθ = y) y la “x” siempre es el coseno (cosθ = x), entonces en la circunferencia unitaria siempre se cumple que x² + y² = 1. De modo que:

sen²θ + cos²θ = 1

Ecuación muy importante para la trigonometría porque por medio de ella se demuestran todas las identidades trigonométricas.

El cosθ es siempre la abscisa “x”

Definimos la tangente del ángulo θ, denotada por tanθ como:

                                                      tanθ =    cateto opuesto   =  y

                                                                  cateto adyacente     x 

Definimos la cotangente del ángulo θ, denotado por cotθ como:

                                                     cotθ = cateto adyacente =  x

                                                                 cateto opuesto       y

Definimos la secante del ángulo θ, denotada por secθ como:

                                                     secθ =      hipotenusa     =  1 .

                                                               cateto adyacente      x

Definimos la cosecante del ángulo θ, denotado por cscθ como:

                                                     cscθ =     hipotenusa     =  1

                                                                cateto opuesto       y 

Ahora bien, cuando la circunferencia es de radio diferente a la unidad, R ≠ 1, entonces la gráfica es la misma y las definiciones de las funciones quedarán:

                                                     senθ =  cateto opuesto =   y .

                                                                      hipotenusa      R

                                                     cosθ = cateto adyacente =  x .

                                                                       hipotenusa       R

                                                     tanθ =   cateto opuesto   =  y

                                                                 cateto adyacente    x

                                                     cotθ =   cateto adyacente =  x

                                                                   cateto opuesto       y

                                                     secθ =       hipotenusa       =  R .

                                                                  cateto adyacente      x

                                                     cscθ =   hipotenusa   =  R .

                                                              cateto opuesto      y

Queda como ejercicios determinar el valor de las seis funciones trigonométricas teniendo en cuenta el ángulo α,